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distribuição binomial

Utilizando a Distribuição Binomial e Suas Probabilidades

por Marcelo Petenate
publicado em | atualizado em

Bastante utilizada no contexto da estatística, a distribuição binomial é uma metodologia qualitativa que se revela útil para determinar probabilidades nos mais diversos cenários.

Vale, inclusive, para o ambiente empresarial, funcionando bem como ferramenta para qualificar a gestão.

Com ela, é possível realizar a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos em uma sequência limitada de tentativas ou provas.

Parece confuso? Vamos explicar.

Dentro da gestão, a distribuição ajuda a calcular a possibilidade de ocorrência de um determinado tipo de efeito ou evento.

Isso permite ao gestor agir preventivamente, de maneira a evitar prejuízos com trocas e recalls, por exemplo.

A metodologia faz parte de um grupo ainda maior da área de estatística, conhecido como distribuição teórica de probabilidades.

Ela ajuda a descobrir quais são as chances de se obter um resultado específico a partir de dados históricos que foram verificados anteriormente.

Em seu uso, a distribuição binomial pode ter dois resultados: sucesso ou fracasso.

Empresas podem aplicá-la dentro de projetos Six Sigma, por exemplo, como forma de reduzir a incidência de erros, isolando a probabilidade de um determinado evento ocorrer.

Assim, a transformação pode ser organizada de modo a focar as melhorias naqueles problemas mais recorrentes ou que causam maior perturbação.

Seu cálculo segue uma fórmula matemática que pode parecer um pouco intimidadora para quem não está familiarizado com o tema, mas é muito mais simples do que parece – ao longo do texto, vamos trazer mais detalhes sobre isso.

Nesse artigo, indicaremos também opções gratuitas e bastante eficazes de calculadoras que você pode usar para fazer o cálculo da distribuição binomial direto do seu navegador.

Continue lendo para entender a distribuição binomial e sua utilidade nos negócios.

O que é a Distribuição Binomial?

O que é a Distribuição Binomial?

A distribuição binomial é um cálculo estatístico utilizado para identificar a probabilidade de ocorrência de determinado evento dentro de um sistema fechado e utilizando de uma sequência limitada de tentativas.

Mas vale dizer que não é qualquer distribuição de probabilidades que pode ser chamada de distribuição binomial.

Afinal, a matemática conta com diversas fórmulas e abordagens para resolver questões de estatística.

Assim, para se enquadrar como uma distribuição binomial, algumas características precisam estar presentes.

Primeiro, o espaço amostral precisa ser finito.

Se quisermos encontrar a probabilidade de ovos quebrados vindos de uma granja, por exemplo, é preciso isolar um número reduzido de ovos para a amostragem.

Ainda, essa é uma técnica que vai sempre contar com apenas dois resultados possíveis – e, por isso, leva o nome de binomial.

Cada tentativa da amostragem vai revelar-se um sucesso ou um fracasso, não havendo meio termo.

Isso significa que você vai avaliar a presença ou ausência de resultados, sem fazer qualquer juízo de valor que possa chegar em uma análise mais subjetiva.

Em outras palavras, ou o erro existe ou ele não existe.

Também é preciso se certificar de que todos os elementos da amostra tenham possibilidades iguais de registrar uma ocorrência.

De volta ao exemplo da cartela de ovos, é necessário que a embalagem seja padronizada de forma a proteger os ovos da ponta da mesma forma que aqueles que ficam no centro.

Assim, todos têm a mesma chance de permanecerem intactos ou se quebrarem, pois compartilham as mesmas condições que possibilitam a ocorrência.

Por fim, os eventos devem ser independentes uns dos outros para que o cálculo represente uma probabilidade que leva em conta as condições normais daquele conjunto.

Isso significa que se, houver um acidente na granja e um funcionário derrubar uma cartela de ovos sobre a outra, os fracassos registrados (ovos quebrados, nesse caso) não podem ser considerados dentro de um cálculo que busca representar um cenário cotidiano.

Como Calcular a Distribuição Binomial?

Como Calcular a Distribuição Binomial?

A execução dos cálculos de uma distribuição binomial é feita seguindo uma fórmula específica, representada da seguinte maneira:

Antes de explicar cada um dos elementos da fórmula, seus significados e como substituir suas letras por valores numéricos, vamos retomar o exemplo da caixa de ovos.

Supondo que a cartela conte com meia dúzia de ovos e que cada um tem 5% de probabilidade de ser quebrado durante o manuseio, no transporte ou nas gôndolas do mercado.

Nesse contexto, o número de ovos é a amostra finita de elementos, que é seis.

Assim, sabemos que:

n = 6

Sobre as probabilidades, como o nome indica, existem duas opções possíveis: ovo quebrado ou ovo inteiro.

A incidência de ovos com defeito (quebrados) é representado por P, e a probabilidade que um ovo chegue inteiro ao cliente é demonstrada por Q.

Dentro do nosso exemplo, foi dada a informação de que a probabilidade de um ovo quebrar é de 5%, então:

P = 5%

Como toda porcentagem tem o número 100 como referencial, as chances de um ovo estar quebrado é o que resta ao subtrairmos P de Q.

Então, podemos afirmar que:

Q = 100 – P

ou

Q = 100 – 5

E, se o valor de Q é dado pelo resultado de 100 menos 5, logo Q é igual a 95.

Em outras palavras, existem 95% de chances de o ovo chegar intacto.

Na sequência, para encaixar os números percentuais dentro da fórmula, é preciso transformá-los para a forma unitária.

O valor de 5% é representado pela fração 5/100 e o resultado dessa divisão será 0,05.

Da mesma forma, os 95% são transformados para a fração 95/100, chegando ao resultado de 0,95.

Se você estiver na dúvida se calculou corretamente, pode tirar a prova somando os valores de P e Q para verificar se o resultado será 1.

No nosso caso, temos:

P + Q = 1

0,05 + 0,95 = 1

1 = 1

Agora, retomemos a fórmula original da distribuição binomial.

Até aqui,  já sabemos o valor de P, Q, e n. Falta descobrir o valor de k.

Esse valor é dado pelo evento sobre o qual você deseja calcular a probabilidade.

Vamos supor que a distribuição binomial está sendo utilizada para descobrir quais são as chances de uma caixa ter chegado até o consumidor com dois ovos quebrados, por exemplo.

Assim, chegamos a seguinte conclusão:

k = 2

A expressão  é calculada separadamente, usando a seguinte fórmula:

O cálculo, que pode ser feito com a ajuda de uma calculadora, vai resultar em um valor de 15 no nosso caso.

Enfim, podemos completar a fórmula da distribuição binomial com todos os valores reais, ficando assim:

P (X=2) =  15.(0,05)².(0,95)4

P (X=2) =  15.(0,0025).(0,8145)

P (X=2) = 0,03054.

A partir disso, nós vamos fazer a conversão inversa para transformar o valor que está na forma unitária para um número percentual e temos a resposta.

P (X=2) =  3,054%

Finalmente, a resposta para o problema do nosso exemplo é que, dentro de uma caixa de meia dúzia de ovos, onde cada ovo tem 5% de chance de estar quebrado, a probabilidade de existirem dois ovos quebrados é de aproximadamente 3,05%.

Pareceu complicado demais? De fato, a fórmula da distribuição binomial é um tanto complexa.

Mas fique tranquilo, pois logo traremos dicas de calculadoras para tornar o cálculo facilitado.

Quando a Distribuição Binomial deve ser usada nas empresas?

Quando a Distribuição Binomial deve ser usada nas empresas?

Na hora de entender como utilizar a distribuição binominal dentro da gestão de uma empresa, deve-se primeiro identificar qual é o tipo de dado com o qual se está lidando e o que se pretende analisar.

Existem dois grandes grupos nos quais as distribuições estatísticas são comumente divididas: distribuição discreta ou distribuição contínua.

O primeiro grupo é ao qual pertence o método que estamos abordando neste artigo.

Um modelo de distribuição discreta é aquele que tem um número contável e finito de valores – como uma cartela de ovos ou um lote de produtos eletrônicos, por exemplo.

Por outro lado, a distribuição contínua tem sua resposta não em um número exato, mas em um conjunto de valores.

Podemos, por exemplo, descrever com ela a distribuição de peso entre indivíduos adultos do sexo masculino, buscando entender qual a possibilidade de que eles pesem entre 80 e 90 quilos.

De volta à distribuição binomial, entendemos a partir dessa explicação que ela é usada para encontrar valores exatos, a probabilidade de ocorrência de eventos em que não existe uma gradação.

Não conseguimos entender qual é a probabilidade de um produto ter uma variação ao padrão proposto (peso, dimensões, cor, etc.).

Porém, conseguimos calcular quais são as chances de haver um número específico de erros dentro de um lote – que compõe um sistema fechado.

Distribuição Binomial vs. Distribuição de Poisson

Distribuição Binomial vs. Distribuição de Poisson

Algumas distribuições são tão importantes que se tornam quase uma linguagem, capazes de descrever alguns dos fenômenos importantes observados na engenharia.

Cálculos da área de estatística contribuíram e continuam contribuindo largamente para orientar e respaldar a tomada de decisão nas áreas correlatas à engenharia da produção.

Até agora, falamos um pouco sobre as diferenças entre distribuição discreta e distribuição contínua.

O que faltou dizer é que o grupo da distribuição discreta é ainda subdividido em duas famílias: a distribuição binomial e a distribuição de Poisson.

Abaixo, traremos mais detalhes sobre a origem e aplicação de cada um desses métodos para garantir exatidão nos seus resultados e uma gestão que consiga usar a estatística para prevenir falhas e erros.

Distribuição de Poisson

Descoberta pelo matemático e físico francês Siméon Denis Poisson (1781 – 1840), a distribuição de Poisson foi desenvolvida para ser o limite da distribuição binomial.

A grande diferença está no fato de que, na opção binomial, trabalhamos com um número de sucesso em n provas, ou seja, um número discreto de provas.

Já em Poisson, precisamos encontrar o número de sucessos em um intervalo contínuo de observação.

O intervalo escolhido vai depender do que você quer analisar. Pode ser um período de tempo, uma área de um terreno ou comprimento de uma peça de roupa, entre outros.

Alguns exemplos de emprego correto da distribuição de Poisson podem ser uma estatística de acidentes de trânsito por período de tempo ou o número de glóbulos vermelhos visíveis em um microscópio por unidade de área.

Distribuição normal

No caso da distribuição binomial, trabalhamos com n provas, que podem ter dois resultados possíveis e a probabilidade de sucesso é constante em todas as provas.

Esse fator é suplantado pela hipótese principal do teorema de que as provas são independentes e, portanto, seus resultados não podem ser influenciados uns pelos outros.

Enquanto Poisson pode ser usado para medir as incidências de eventos dentro de um intervalo, a distribuição binomial só tem dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso.

Por isso, ela é bastante utilizada para encontrar a probabilidade de obtermos um resultado específico durante as provas.

Exemplos práticos de uso

O que não faltam são exemplos práticos de como empregar a distribuição nominal no dia a dia da sua empresa para otimizar a produção.

Vamos supor que, em um lote, foram fabricadas 10 mil unidades de jaquetas jeans com foco na exportação.

Para ser enviado para fora do país, o produto deve estar em condições perfeitas de uso e apresentar um padrão impecável em todas as unidades.

Acontece que já é de conhecimento da gestão o fato de que a probabilidade de uma jaqueta chegar ao fim da linha de produção com defeito é de 5%.

O limite do importador é de 30 jaquetas com defeito dentro do lote e você precisa calcular quais são as chances de isso acontecer.

Assim, temos os seguintes dados para aplicar à fórmula da distribuição binomial:

k = 30

n = 10.000

P = 0,05

Q = 1-P = 0,95

O nosso segundo exemplo vem do serviço de atendimento ao consumidor.

Com o tempo, os atendentes de uma determinada empresa perceberam que existe 30% de chances de fechar um negócio a partir do contato encaminhado ao comercial.

Em um final de semana, 500 contatos foram recebidos e eles querem saber quais são as chances de fechar 150 vendas a partir desses contatos.

Para calcular uma distribuição binomial a partir desses dados, temos as seguintes informações:

k = 150

n = 500

P = 0,3

Q = 1-P = 0,97.

Quais os benefícios da utilização?

A distribuição binomial é mais uma estratégia que o gestor pode lançar mão durante o dia a dia da produção para garantir bons resultados.

A ferramenta ganha destaque no contexto da administração por acabar oferecendo uma vantagem competitiva à empresa que se compromete com sua aplicação e a utiliza de maneira inteligente.

Ainda na fase de planejamento, a distribuição pode ser utilizada nos estudos preliminares, que vão indicar as chances de erros para que você possa preparar recursos humanos e insumos materiais de acordo, assim como incluir a percentagem de erros na previsão do orçamento.

Durante a execução dos trabalhos, o cálculo estatístico atua dando maior segurança à tomada de decisões do gestor.

Como ele consegue calcular previamente as probabilidades que podem decorrer de suas ações, conta com maior segurança para optar por um ou outro caminho, tendo uma ideia fiel dos possíveis resultados.

Como estamos falando de probabilidade, é claro que nenhum resultado será uma sentença imutável.

Ainda assim, a estatística é bem precisa quando são utilizados dados que correspondem à realidade da empresa.

Então, é possível prever a incidência de erros na produção, tendo os resultados calculados como uma base para agir preventivamente.

Quando você se antecipa aos erros, acaba evitando dores de cabeça e prejuízos financeiros que podem ocorrer por conta de trocas, devoluções e recalls.

Calculadoras de distribuição binomial online

Se você está lendo até agora ansioso pela parte em que apresentaremos as opções para o cálculo automático da distribuição binomial, este é o seu momento.

Ainda que exista uma fórmula para facilitar o processo, a conta para determinar a probabilidade de ocorrências em um sistema fechado pode ser um pouco intimidadora para quem não está familiarizado a lidar com números.

O primeiro exemplo vem do site Calcuworld, que oferece diversas opções de calculadoras para fins matemáticos, conversores de medida e até algumas opções divertidas, como a Calculadora do Amor.

Na página, você precisará apenas indicar o número de provas (n), o número de sucessos que se busca averiguar (X) e a probabilidade de sucesso (P).

Mais focado em cálculos matemáticos e científicos, o site Elektro-energetika também conta com uma opção de cálculo online para a distribuição binomial.

A página é bastante útil, pois apresenta ainda uma representação gráfica dos dados.

O ponto fraco é que existe uma limitação de valores nessa opção, onde o número de provas deve ser de no máximo 269.

Conclusão

Com origem na estatística, a distribuição binomial se tornou uma potente ferramenta para auxiliar gestores em seus processos decisórios e no controle da qualidade dentro da produção.

Com ela, é possível descobrir a probabilidade de incidência de eventos específicos dentro de uma sequência limitada de tentativas.

Na prática, isso significa prever a quantidade de erros dentro de um lote de entregas e agir preventivamente, preparando orçamento, insumos e recursos humanos para reparar os erros.

O cálculo pode ser feito com a fórmula, seguindo o passo a passo que propomos, ou ainda utilizando uma das opções de calculadoras disponíveis gratuitamente na internet.

O sucesso de sua aplicação, entretanto, depende da precisão dos dados inseridos na fórmula.

É necessário ter claro qual é a taxa de erros atual, o número de provas que se pretende fazer e a hipótese de erros que se quer verificar.

Lembrando que os resultados possíveis só podem ser dois: sucesso ou fracasso.

Como esse é um sistema de distribuição binário, não é indicado para calcular resultados que variam em um intervalo – para isso, a distribuição de Poisson existe.

A estatística é uma ótima aliada da gestão, e você também pode se beneficiar dela em sua empresa.

Explore já a distribuição binomial e previsões precisas sobre os resultados da sua produção.

Se ficou com alguma dúvida ou gostaria de deixar sua opinião, use o nosso espaço de comentários para isso. E aproveite para compartilhar esse conteúdo em suas redes sociais.

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