Uma transportadora queria saber quanto a distância pesa no prazo de entrega. O analista pegou quarenta entregas, fez uma regressão do prazo contra a distância e encontrou um efeito claro: cada 100 km a mais somavam 1,4 dia ao prazo. O modelo explicava 85% da variação. A diretoria usou esse número para renegociar prazos com os clientes de longa distância.
O número estava errado, e não por erro de conta. As entregas mais distantes também eram, em geral, as de pedidos maiores, com mais itens para separar e conferir. Parte do que a regressão atribuía à distância era, na verdade, o efeito do tamanho do pedido. Quando os dois fatores entraram juntos no modelo, o efeito da distância caiu quase pela metade.
Essa é a diferença que importa entre regressão linear simples e múltipla. Não é só o número de variáveis na fórmula: é que a simples responde a uma pergunta e a múltipla responde a outra, e confundir as duas leva a decisões erradas com aparência de rigor.
O que cada uma faz
A regressão linear simples relaciona uma variável resposta a uma única variável explicativa. Ela ajusta uma reta, com um intercepto e uma inclinação, e a inclinação diz quanto a resposta muda, em média, quando a variável explicativa aumenta uma unidade. É a pergunta: quando a distância aumenta, o que acontece com o prazo, olhando só para a distância?
A regressão linear múltipla relaciona a resposta a duas ou mais variáveis explicativas ao mesmo tempo. Cada coeficiente passa a dizer quanto a resposta muda quando aquela variável aumenta uma unidade, mantidas as outras constantes. É outra pergunta: quando a distância aumenta, para pedidos do mesmo tamanho, o que acontece com o prazo?
As duas perguntas são legítimas. O problema é responder a segunda com o modelo da primeira.
O exemplo da transportadora, com os números
As quarenta entregas tinham distância média de 152 km, média de 12,5 itens por pedido e prazo médio de 3,65 dias. A correlação entre distância e número de itens era de 0,80: as rotas longas atendiam principalmente clientes que compravam em volume.
Regressão simples, prazo contra distância. Coeficiente de 0,0141 dia por km, ou 1,41 dia a cada 100 km. Coeficiente de determinação R² de 0,855.
Regressão simples, prazo contra número de itens. Coeficiente de 0,23 dia por item. R² de 0,851. Quase o mesmo poder explicativo da distância, o que já é um aviso: duas variáveis correlacionadas entre si explicam, cada uma sozinha, praticamente a mesma parcela da variação.
Regressão múltipla, prazo contra distância e itens. Coeficiente da distância de 0,0079 dia por km, ou 0,79 dia a cada 100 km. Coeficiente dos itens de 0,127 dia por item. R² de 0,947, e R² ajustado de 0,944.
O efeito da distância caiu de 1,41 para 0,79 dia por 100 km. Na regressão simples, a distância carregava junto o efeito dos itens, porque as duas andavam juntas nos dados. Na múltipla, cada uma recebe a sua parte.
A diferença aparece com força na previsão. Para uma entrega de 150 km, a regressão simples prevê 3,63 dias, qualquer que seja o pedido. A múltipla prevê 4,58 dias para um pedido de 20 itens e 3,06 dias para um de 8 itens. Um prazo único negociado pela regressão simples estaria folgado para os pedidos pequenos e apertado para os grandes.
O viés da variável omitida
O que aconteceu com a transportadora tem nome técnico: viés de variável omitida. Quando uma variável que afeta a resposta está correlacionada com a variável que você colocou no modelo, e fica de fora, o coeficiente da variável incluída absorve parte do efeito da omitida. O número sai com precisão aparente e significado distorcido.
É por isso que a regressão simples é perigosa justamente quando parece mais convincente. Um R² alto não garante que o coeficiente mede o efeito da variável; pode estar medindo o efeito de tudo que anda junto com ela. E nenhuma das duas regressões, sozinha, prova causa: ambas descrevem associações nos dados observados, e a distinção entre associação e causa está em correlação e causalidade.
Cuidados que aparecem só na múltipla
O R² sempre sobe quando você acrescenta variáveis. Mesmo uma variável sem relação nenhuma com a resposta aumenta o R² um pouco, por puro ajuste ao acaso. Por isso, na comparação entre modelos com números diferentes de variáveis, o indicador correto é o R² ajustado, que penaliza variáveis que não acrescentam explicação.
Variáveis muito correlacionadas entre si dão coeficientes instáveis. Com correlação de 0,80 entre distância e itens, o modelo consegue separar os efeitos, mas com menos precisão do que se as variáveis fossem independentes. Quando a correlação entre explicativas se aproxima de 1, os coeficientes podem mudar muito com pequenas alterações nos dados, e até trocar de sinal. O nome desse problema é multicolinearidade.
Mais variáveis exigem mais dados. Uma regra prática usada com frequência é ter pelo menos dez a quinze observações para cada variável explicativa. Com quarenta entregas e duas variáveis, o exemplo está confortável; com quarenta entregas e dez variáveis, não estaria.
Os pressupostos continuam valendo. Relação aproximadamente linear, resíduos sem padrão, variância constante. Na múltipla, verificar isso dá mais trabalho, porque a relação precisa ser examinada variável a variável. Os erros mais frequentes nessa verificação estão em cinco erros comuns em regressão.
Quando usar cada uma
Use a regressão simples quando a pergunta é de fato sobre uma única variável, quando você quer uma primeira visão da relação, ou quando tem motivo para acreditar que nenhuma outra variável relevante está correlacionada com a que você estuda. Ela também é o ponto de partida natural: olhar cada relação isoladamente, num gráfico de dispersão, antes de montar o modelo múltiplo.
Use a múltipla quando mais de um fator influencia a resposta e esses fatores podem estar relacionados entre si, que é a situação mais comum em processos reais. E quando a resposta não é numérica contínua, mas uma categoria, como aprovado ou reprovado, o caminho é outro: a regressão logística.
Há ainda uma terceira via, que resolve o problema da variável omitida na raiz: em vez de observar os dados como vieram, controlar as variáveis por experimento. O planejamento de experimentos define de antemão as combinações de fatores a testar, de modo que os efeitos não se misturem. Onde é possível experimentar, a conclusão sobre o efeito de cada fator fica muito mais sólida do que qualquer regressão sobre dados históricos.
Como fazer na prática
As duas regressões podem ser feitas no Excel, pela ferramenta de análise de dados, e o passo a passo está em regressão linear no Excel. A diferença na execução é apenas selecionar uma ou várias colunas como variáveis explicativas. A diferença na interpretação é a que este texto tratou: na múltipla, cada coeficiente é lido mantendo as outras variáveis constantes.
Interpretar regressão em dados de processo, reconhecer quando uma variável omitida distorce o resultado e decidir quando é preciso experimentar em vez de observar são habilidades centrais da fase de análise de um projeto de melhoria, e fazem parte do conteúdo da formação Green Belt.
A transportadora refez a negociação com prazos diferentes por faixa de tamanho de pedido. Os clientes de pedidos pequenos em rotas longas, que tinham recebido prazos mais folgados do que precisavam, foram os primeiros a notar a diferença.
Perguntas frequentes
Qual a diferença entre regressão linear simples e múltipla?
A simples usa uma única variável explicativa; a múltipla usa duas ou mais ao mesmo tempo. Na múltipla, cada coeficiente mede o efeito de uma variável mantidas as outras constantes, o que muda o significado do resultado quando as variáveis explicativas estão relacionadas entre si.
Por que o coeficiente muda quando adiciono uma variável?
Porque, na regressão simples, a variável incluída absorve parte do efeito das variáveis correlacionadas com ela que ficaram de fora. Ao acrescentá-las, cada uma passa a receber só o seu efeito. É o chamado viés de variável omitida.
O que é R² ajustado?
É uma versão do R² que penaliza a inclusão de variáveis que não acrescentam explicação real. Como o R² comum sempre aumenta quando uma variável é adicionada, o ajustado é o indicador adequado para comparar modelos com números diferentes de variáveis.
O que é multicolinearidade?
É a correlação alta entre variáveis explicativas de uma regressão múltipla. Ela torna os coeficientes instáveis e menos precisos, porque o modelo tem dificuldade em separar o efeito de variáveis que variam juntas. Em casos extremos, os coeficientes podem até trocar de sinal.
Quantos dados preciso para uma regressão múltipla?
Uma regra prática usada com frequência é ter pelo menos dez a quinze observações por variável explicativa. Modelos com muitas variáveis e poucos dados tendem a se ajustar ao acaso e a prever mal casos novos.
Regressão mostra causa e efeito?
Não. Tanto a simples quanto a múltipla descrevem associações nos dados observados. A múltipla reduz o risco de atribuir a uma variável o efeito de outra que foi incluída no modelo, mas não elimina o efeito de variáveis que ficaram de fora. Para estabelecer causa, o caminho mais sólido é o experimento controlado.
Quando usar regressão logística em vez de linear?
Quando a resposta é uma categoria, como sim ou não, aprovado ou reprovado, e não um valor numérico contínuo. A regressão linear pressupõe resposta contínua; a logística modela a probabilidade de cada categoria.
Parabéns pela matéria…. Muito explicativa e útil.