Árvore de possibilidades é um diagrama que lista todos os resultados possíveis de uma sequência de escolhas ou eventos. Cada nível da árvore é uma etapa, cada ramo é uma opção daquela etapa e cada caminho da raiz até a ponta é um resultado. O número total de resultados é o produto do número de ramos de cada etapa.
Numa aula de estatística para o primeiro ano de engenharia, a professora Helena escreve no quadro: “Uma prova tem duas questões de múltipla escolha, cada uma com quatro alternativas. Um aluno chuta as duas. Qual a chance de ele acertar pelo menos uma?” Dois terços da turma respondem em menos de dez segundos: 50%. Um quarto de chance na primeira, mais um quarto na segunda.
A conta parece razoável e está errada. Para ver por quê, basta perguntar o que aconteceria com quatro questões: pela mesma soma, a chance de acertar pelo menos uma seria 100%, e qualquer pessoa sabe que é possível errar quatro chutes seguidos. A soma conta duas vezes o caso em que o aluno acerta as duas, e a árvore de possibilidades é o jeito mais simples de enxergar isso.
O que é árvore de possibilidades
Pense no problema do princípio. Antes de calcular qualquer probabilidade, é preciso saber o que pode acontecer. Na prova da professora Helena acontecem duas coisas em sequência: a primeira questão (acerto ou erro) e depois a segunda (acerto ou erro). A árvore desenha essa sequência: da raiz saem os ramos da primeira etapa; de cada um deles saem os ramos da segunda. Cada caminho completo é um resultado possível, e o conjunto de todos os caminhos é o espaço amostral.
Essa é a definição que serve para lição e para o trabalho: a árvore de possibilidades (ou árvore das possibilidades, ou diagrama de árvore de probabilidade) é a representação de todos os resultados de um processo em etapas, em que cada etapa multiplica as opções da anterior.
Como fazer uma árvore de possibilidades passo a passo
- Liste as etapas na ordem em que acontecem. Na prova: questão 1, depois questão 2.
- Liste as opções de cada etapa. Acerto (A) ou erro (E). Se as opções tiverem chances diferentes, anote a chance em cada ramo: acerto 1/4, erro 3/4.
- Desenhe a raiz e os ramos da primeira etapa. Dois ramos: A e E.
- De cada ponta, desenhe os ramos da etapa seguinte. De A saem A e E; de E saem A e E. São 2 × 2 = 4 caminhos.
- Escreva o resultado de cada caminho e, se for o caso, a probabilidade. A probabilidade de um caminho é o produto das chances dos ramos: AA = 1/4 × 1/4 = 1/16; AE = 3/16; EA = 3/16; EE = 9/16.
- Some os caminhos que respondem à pergunta. “Pelo menos um acerto” são AA, AE e EA: 1/16 + 3/16 + 3/16 = 7/16, cerca de 44%, e não 50%.
O atalho que a árvore ensina é olhar o caminho que falta. “Pelo menos um acerto” é tudo menos “errar as duas”: 1 − 9/16 = 7/16. Com quatro questões, a chance de errar todas é (3/4)⁴ = 81/256, e a de acertar pelo menos uma é 175/256, cerca de 68%. Longe dos 100% da soma ingênua.
Árvore de possibilidades: exemplos resolvidos
Exemplo 1: combinações de uniforme na escola
O uniforme de uma escola tem 3 camisetas (branca, azul, cinza) e 2 bermudas (azul, preta). Quantas combinações diferentes um aluno pode usar? A árvore tem 3 ramos no primeiro nível e 2 em cada ponta: 3 × 2 = 6 combinações. Se a escola acrescentar 2 modelos de tênis, a árvore ganha um terceiro nível e passa a 3 × 2 × 2 = 12. É o princípio fundamental da contagem desenhado.
Exemplo 2: lançamento de três moedas
Cada moeda tem 2 resultados; três moedas geram 2 × 2 × 2 = 8 caminhos: CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK. A chance de sair exatamente duas caras é o número de caminhos com duas caras (3) dividido pelo total (8): 3/8. Aqui todos os caminhos têm a mesma chance, então basta contar.
Exemplo 3: quais são as possibilidades de horário na universidade
Um calouro precisa escolher 1 de 3 turmas de cálculo, 1 de 2 turmas de laboratório e 1 de 2 turmas de inglês. Sem restrição, há 3 × 2 × 2 = 12 grades possíveis. Se uma das turmas de cálculo bate com uma das de laboratório, a árvore mostra exatamente quais ramos cortar: 2 caminhos somem e restam 10. A árvore não só conta, ela mostra quais combinações existem, o que a fórmula sozinha não faz.
Árvore de possibilidades, princípio multiplicativo e diagrama de árvore da qualidade
O nome “árvore” aparece em ferramentas muito diferentes, e a confusão costuma aparecer em prova e em reunião. A comparação que mais importa é com o diagrama de árvore usado em gestão da qualidade:
| Aspecto | Árvore de possibilidades | Diagrama de árvore (ferramenta da qualidade) |
|---|---|---|
| Pergunta que responde | Quais resultados podem acontecer e com que chance? | Como desdobrar um objetivo em ações ou causas menores? |
| Cada nível é | Uma etapa ou evento em sequência | Um nível de detalhe (objetivo, meio, ação) |
| Os ramos de um nó são | Todas as opções possíveis da etapa (mutuamente exclusivas) | Os meios necessários para o nó de cima |
| Conta que se faz | Multiplicar ramos para contar; multiplicar chances ao longo do caminho | Nenhuma conta; conferência lógica do “é suficiente?” |
| Onde se usa | Probabilidade, análise combinatória, planejamento de testes | Planejamento, desdobramento de metas, análise de causas |
Quem procura o desdobramento de metas encontra a explicação no artigo sobre diagrama de árvore. A árvore de oportunidades, outra ferramenta com nome parecido, trata de organizar caminhos para atingir um resultado de negócio, e também não calcula probabilidade.
Onde a árvore de possibilidades entra num projeto de melhoria
Fora da sala de aula, a mesma lógica aparece toda vez que alguém precisa testar combinações. Suponha que a coordenação de um curso universitário queira reduzir a reprovação em cálculo e tenha duas mudanças em mente: monitoria (com ou sem) e listas de exercícios semanais (com ou sem). A árvore mostra que há 2 × 2 = 4 combinações a comparar, e que testar só “tudo novo” contra “tudo antigo” deixa sem resposta qual das duas mudanças fez diferença.
No método DMAIC, isso acontece na fase de melhoria, quando a equipe planeja os testes. Listar as combinações é o primeiro passo de um experimento fatorial, e o planejamento desse tipo de teste é parte da formação Green Belt. No Modelo de Melhoria, a árvore ajuda a responder antes de cada ciclo PDSA: que resultados podem aparecer, e qual deles a equipe prevê? Escrever a predição para cada ramo antes do teste é o que separa um teste de um palpite.
Os cálculos de chance dos ramos seguem as regras da probabilidade: multiplicar ao longo do caminho quando as etapas são independentes, somar entre caminhos diferentes que respondem à mesma pergunta.
Os erros mais comuns ao montar a árvore
- Somar chances de eventos que podem acontecer juntos. É o erro da turma da professora Helena: 1/4 + 1/4 conta duas vezes o caminho com dois acertos.
- Esquecer que a chance pode mudar entre etapas. Tirar duas bolas de uma urna sem devolução muda a composição da urna no segundo nível; os ramos de baixo têm chances diferentes dos de cima.
- Misturar ordem quando ela não importa. Em três moedas, “duas caras” aparece em três caminhos diferentes (CCK, CKC, KCC). Contar só um subestima a chance.
- Ramos que não esgotam as opções. Se as probabilidades dos ramos de um nó não somam 1, falta uma opção na árvore.
A árvore de possibilidades transforma “o que pode acontecer” em uma lista que se pode contar. Esse é o trabalho que vem antes de qualquer probabilidade e de qualquer teste: enquanto a lista de resultados está incompleta, toda conta em cima dela está errada, por mais caprichada que seja. Para quem está começando em estatística, o guia de estatística básica organiza os próximos temas.
Conteúdo revisado pelo Master Black Belt Marcelo Petenate, estatístico, formado pela Unicamp, mestre pela USP e especialista em Lean Six Sigma e melhoria contínua. Nesta revisão, o foco foi a árvore de possibilidades como lista completa de resultados antes do cálculo de probabilidade e do planejamento de testes de mudança.
Listar as combinações é fácil; decidir quais testar e prever o resultado antes é método. O White Belt gratuito da Escola EDTI apresenta esse raciocínio.
Perguntas frequentes sobre árvore de possibilidades
O que é uma árvore de possibilidades?
É um diagrama que mostra todos os resultados possíveis de uma sequência de etapas. Cada nível é uma etapa, cada ramo uma opção e cada caminho completo um resultado.
Como fazer uma árvore de possibilidades?
Liste as etapas em ordem, desenhe os ramos da primeira etapa e, de cada ponta, os ramos da etapa seguinte. Escreva o resultado de cada caminho e, se houver chances diferentes, multiplique as chances ao longo do caminho.
Como calcular o número de possibilidades?
Multiplique o número de opções de cada etapa. Três camisetas e duas bermudas dão 3 × 2 = 6 combinações; três moedas dão 2 × 2 × 2 = 8 resultados.
Como calcular probabilidade com árvore de possibilidades?
Se todos os caminhos têm a mesma chance, divida o número de caminhos favoráveis pelo total. Se as chances são diferentes, multiplique as probabilidades ao longo de cada caminho e some os caminhos que respondem à pergunta.
Qual a diferença entre árvore de possibilidades e princípio fundamental da contagem?
O princípio é a regra (multiplicar as opções de cada etapa); a árvore é o desenho que mostra cada combinação. O princípio dá o total; a árvore mostra quais são, o que ajuda quando há restrições.
Árvore de possibilidades e árvore das possibilidades são a mesma coisa?
Sim. Os livros usam os dois nomes (e o plural árvores de possibilidades quando há vários diagramas), além de “diagrama de árvore” no contexto de probabilidade.
Preciso de formação em estatística para usar árvore de possibilidades no trabalho?
Não para montar a árvore: a lógica é a mesma da escola. A formação faz diferença no passo seguinte, quando a árvore vira plano de teste de mudanças com predição, dados e decisão. Esse uso aparece no White Belt gratuito da Escola EDTI e é aprofundado na formação Green Belt.